500473 - GEOMETRIA E ALGEBRA

L'esame consta di una prova scritta (composta da una parte più teorica e da una parte di esercizi) ed eventualmente di una prova orale.
La parte teorica consiste in al massimo 10 (tipicamente 8) domande di comprensione e/o di definizione su argomenti base in parte a risposta chiusa (ossia, le cui risposte esatte devono essere individuate all’interno di un elenco predisposto), in parte a risposta aperta (ossia, in cui lo studente deve rispondere per esteso al quesito posto, per esempio enunciando un teorema e fornendone una dimostrazione). In linea di massima, in questa prima parte i calcoli richiesti saranno molto ridotti, mentre sarà necessario padroneggiare tutte le definizioni base, anche per evitare calcoli onerosi.
La parte di esercizi contiene di norma 3-4 esercizi, a risposta aperta, in cui lo studente deve dimostrare di saper fare alcuni semplici calcoli su:
--geometria euclidea nello spazio (rette, piani e loro equazioni, distanze);
--sottospazi, (unione, intersezione, equazioni parametriche e cartesiane, basi, formula di Grassmann);
--sistemi lineari (anche con parametro), risolubilità (Rouché -Capelli), struttura e dimensione dello spazio lineare delle soluzioni;
--applicazioni lineari (sottospazi ker e immagine, relazioni con iniettività e suriettività, teorema delle dimensioni, determinazione di metrice associata rispetto a basi opportune)
--diagonalizzazione di operatori lineari e matrici (polinomio caratteristico, autovalori, e autovettori, autospazi, diagonalizzabilità);
--diagonalizzazione di matrici simmetriche e calacolo della segnatura e della forma canonica di forme quadratiche su R^n;
--sottospazio complemento ortogonale e sue basi ed equazioni, coordinate di vettori rispetto a basi ortonormali.
La parte teorica funge da sbarramento: se non si prende almeno la metà dei punti totali non si è ammessi alla parte di esercizi e l'esame non è superato.
Laddove l'elaborato risulti sufficiente ai fini di una valutazione complessiva dell'esame il docente propone allo studente la verbalizzazione dell'esame. Se invece lo scritto, pur ottenendo una valutazione sufficiente, risulti manifestamente incongruo in alcune parti, o se emergono elementi contraddittori o poco chiari, allo studente è richiesto un colloquio orale. Gli studenti hanno comunque sempre diritto di chiedere di sostenere la prova orale. In caso il voto dello scritto sia maggiore di 26, allo studente che non sostiene l'orale viene verbalizzato 26. La prova orale partirà da un'analisi dello scritto. All'orale lo studente dovrà mostrare di padroneggiare le nozioni del corso: aver compreso le definizioni e gli enunciati ed essere in grado di riproporre le dimostrazioni viste a lezione. Inoltre dovrà mostrare di essere in grado di utilizzare queste nozioni in situazioni proposte dal docente.