Gli studenti acquisiranno familiarità con le operazioni di base su spazi vettoriali e matrici. Svilupperanno le competenze e la sicurezza necessarie per affrontare sistemi lineari e problemi agli autovalori, attraverso: (1) il riconoscimento e la traduzione del sistema lineare in forma matriciale; (2) la comprensione di concetti fondamentali come l’esistenza e l’unicità della soluzione; (3) la capacità di risolvere tali sistemi tramite strumenti computazionali. Gli studenti acquisiranno inoltre consapevolezza di aspetti rilevanti a livello computazionale, come l’efficienza e la stabilità dei metodi numerici.
Prerequisiti
Non sono richiesti prerequisiti particolari, se non una conoscenza di base della matematica delle scuole superiori.
Metodi didattici
La maggior parte delle lezioni in aula si svolgerà alla lavagna. Tali lezioni combineranno momenti teorici, in cui verranno introdotti nuovi concetti e nozioni, e momenti pratici, in cui il docente svolgerà esercizi. Inoltre, una parte minore delle lezioni sarà svolta mediante proiezione da computer, al fine di mostrare direttamente alcuni esempi computazionali utilizzando MATLAB.
Verifica Apprendimento
L’esame consisterà in una prova scritta. Il voto finale seguirà la scala standard 0–30, con 18 come punteggio minimo per il superamento. Durante la prova scritta non sarà consentito l’uso di materiale di supporto (come libri di testo, appunti o calcolatrici avanzate). L’esame includerà sia "domande teoriche", volte a verificare la comprensione degli aspetti teorici del corso (ad esempio, l’enunciazione e la spiegazione di una definizione o di un teorema), sia "esercizi pratici", in linea con quelli svolti durante le lezioni in aula. Il peso relativo della parte teorica sarà di circa il 40%, mentre quello della parte pratica sarà di circa il 60%.
Testi
Il libro di testo principale del corso è: "Linear Algebra and Its Applications", J.C. Lay, R.S. Lay, J.J. McDonald, Pearson. Un testo di supporto consigliato, per gli aspetti computazionali, è: "Numerical Linear Algebra", W. Layton, M.M. Sussman, World Scientific Publishing.
Contenuti
Spazi vettoriali: indipendenza lineare, basi e dimensioni, norme e prodotto scalare. Matrici: operazioni, determinante, rango, matrici non singolari. Matrici simmetriche, definite positive e ortogonali. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: nucleo, immagine, relazione dimensionale, norme degli operatori. Sistemi lineari: metodi diretti e fattorizzazione LU, costo computazionale. Stabilità e numero di condizionamento dei sistemi lineari. Problemi ai minimi quadrati, fattorizzazione QR, aspetti computazionali. Autovalori e autovettori.