Gli studenti incontreranno i principali temi della teoria dell’omotopia e dell’omologia. Circa l’omotopia acquisiranno la capacità di descrivere retrazioni per deformazione e equivalenze omotopiche tra spazi, di definire rivestimenti su di essi e di mettere in relazione rivestimenti e sottogruppi caratteristici; gli saranno presentati problemi per cui è necessario introdurre gruppi di omotopia di ordine superiore, circa i quali apprenderanno alcuni risultati e metodi di calcolo. Circa l’omologia apprenderanno la teoria dell’omologia singolare, comprendendo come in essa siano verificati gli assiomi di una teoria omologica generale, e sapranno descrivere uno spazio come complesso di celle, calcolando in questo modo i principali invarianti, anche facendo uso di successioni esatte e altri strumenti di algebra omologica.
Prerequisiti
Nozioni di base di teoria dei gruppi, algebra lineare e topologia generale
Metodi didattici
Lezioni e esercitazioni
Verifica Apprendimento
L’esame consta di - una prova scritta, in cui si richiede la risoluzione di esercizi in cui vanno descritte retrazioni o equivalenze omotopiche, rivestimenti, strutture cellulari e calcolati sottogruppi caratteristici e gruppi di omologia, dimostrando di saper utilizzare i risultati e i concetti del corso; le domande avranno una graduazione che permette di identificare il livello di competenza raggiunto dagli studenti; - una prova orale, costituita da domande di difficoltà variabile, in cui gli studenti dovranno dimostrare di aver acquisito familiarità con i concetti del corso e di saperli enunciare e spiegare con chiarezza, nonché di saperli applicare per risolvere problemi proposti durante la prova stessa. Il voto prende in considerazione ambedue le parti, valutando la profondità della comprensione dimostrata, la chiarezza espositiva e la capacità di applicare gli strumenti a situazioni ed esempi anche diversi da quelli già svolti durante le lezioni. La valutazione non deriva da una media artimetica delle due prove, né da un’altra formula automatica, ma da una considerazione globale della preparazione mostrata.
Testi
A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press (disponibile liberamente online) M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology". W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag. E. Spanier: "Algebraic Topology".
Contenuti
Invarianti omotopici, retrazioni e equivalenze omotopiche. Rivestimenti. Prime nozioni di algebra omologica. Omologia singolare e sue proprietà omotopiche, omologia relativa, teoria assiomatica dell'omologia. Complessi simpliciali, CW-complessi.Teorema della curva di Jordan, teorema di invarianza del dominio. Triangolazioni, caratteristica di Eulero-Poincarè, orientazione, classificazione delle superfici.