ID:
502234
Durata (ore):
56
CFU:
6
SSD:
ANALISI NUMERICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso completa ed estende le conoscenze degli argomenti trattati nei precedenti corsi di analisi numerica.
Obiettivo fondamentale è quello di apprendere varie tecniche della modellistica numerica per la risoluzione di problemi ai limiti, principalmente di diffusione-reazione-trasporto.
Ci limiteremo al caso di un'unica dimensione spaziale, ma le idee e le tecniche apprese potranno essere applicate in contesti ben più generali.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di: studiare le proprietà teoriche di un problema al bordo, selezionare le tecniche numeriche più adatte per approssimarlo, analizzare le proprietà di stabilità e convergenza del metodo e implementarlo in modo efficiente.
Obiettivo fondamentale è quello di apprendere varie tecniche della modellistica numerica per la risoluzione di problemi ai limiti, principalmente di diffusione-reazione-trasporto.
Ci limiteremo al caso di un'unica dimensione spaziale, ma le idee e le tecniche apprese potranno essere applicate in contesti ben più generali.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di: studiare le proprietà teoriche di un problema al bordo, selezionare le tecniche numeriche più adatte per approssimarlo, analizzare le proprietà di stabilità e convergenza del metodo e implementarlo in modo efficiente.
Prerequisiti
Le competenze acquisite nei corsi di analisi, algebra lineare e analisi numerica.
Conoscenze di base di Matlab o di un linguaggio simile.
Conoscenze di base di Matlab o di un linguaggio simile.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni in laboratorio informatico.
Le lezioni frontali si tengono alla lavagna (fisica o virtuale) e richiedono la partecipazione attiva degli studenti, soprattutto per le parti di problem solving.
Durante le esercitazioni nel laboratorio informatico gli studenti implementano e studiano numericamente i metodi visti nelle lezioni, da soli o a piccoli gruppi, con il supporto del docente. Gli esercizi sono assegnati in anticipo e spaziano da semplici applicazioni della teoria a piccoli progetti di una certa complessità.
Le lezioni frontali si tengono alla lavagna (fisica o virtuale) e richiedono la partecipazione attiva degli studenti, soprattutto per le parti di problem solving.
Durante le esercitazioni nel laboratorio informatico gli studenti implementano e studiano numericamente i metodi visti nelle lezioni, da soli o a piccoli gruppi, con il supporto del docente. Gli esercizi sono assegnati in anticipo e spaziano da semplici applicazioni della teoria a piccoli progetti di una certa complessità.
Verifica Apprendimento
Esame orale con discussione di elaborati Matlab.
Gli studenti dovranno dimostrare di conoscere i concetti teorici, saperli applicare a problemi concreti, essere in grado di confrontare strategie diverse, saper descrivere, implementare ed analizzare i metodi numerici che costituiscono il programma del corso.
Gli studenti dovranno dimostrare di conoscere i concetti teorici, saperli applicare a problemi concreti, essere in grado di confrontare strategie diverse, saper descrivere, implementare ed analizzare i metodi numerici che costituiscono il programma del corso.
Testi
Il riferimento principale sono le dispense preparate dal docente e rese disponibili sulla pagina del corso.
Per approfondimenti:
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 2014.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008 (prima ed. 1973).
E. Suli, D. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
Per approfondimenti:
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 2014.
G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Wellesey–Cambridge press, 2008 (prima ed. 1973).
E. Suli, D. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
Contenuti
Si introdurranno gli algoritmi numerici per la risoluzione di problemi differenziali ai limiti.
Faranno parte del corso elementi di programmazione MATLAB.
- Metodo di shooting per problemi al bordo lineari e non lineari.
- Modelli di diffusione, trasporto e reazione.
- Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Dirichlet in una dimensione, principio del massimo, funzione di Green, altre condizioni al bordo.
- Differenziazione numerica: le differenze finite; errore di troncamento ed errore di arrotondamento.
- Metodo delle differenze finite.
Esistenza, unicità ed accuratezza della soluzione del problema discreto di diffusione-reazione.
Il problema di Neumann.
Implementazione efficiente.
Problema di diffusione-trasporto, metodo upwind.
Il problema agli autovalori.
Problemi non lineari.
Quantificazione dell'incertezza.
- Il metodo di collocazione spettrale polinomiale e quello trigonometrico; la trasformata di Fourier discreta, la FFT.
- La formulazione debole di un problema al contorno, problemi variazionali astratti.
- Il metodo di Galerkin.
- Il metodo degli elementi finiti lineari e quadratici; analisi dell'errore.
- Problemi evolutivi: equazione del calore, metodo di Fourier, theta-metodo.
Faranno parte del corso elementi di programmazione MATLAB.
- Metodo di shooting per problemi al bordo lineari e non lineari.
- Modelli di diffusione, trasporto e reazione.
- Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Dirichlet in una dimensione, principio del massimo, funzione di Green, altre condizioni al bordo.
- Differenziazione numerica: le differenze finite; errore di troncamento ed errore di arrotondamento.
- Metodo delle differenze finite.
Esistenza, unicità ed accuratezza della soluzione del problema discreto di diffusione-reazione.
Il problema di Neumann.
Implementazione efficiente.
Problema di diffusione-trasporto, metodo upwind.
Il problema agli autovalori.
Problemi non lineari.
Quantificazione dell'incertezza.
- Il metodo di collocazione spettrale polinomiale e quello trigonometrico; la trasformata di Fourier discreta, la FFT.
- La formulazione debole di un problema al contorno, problemi variazionali astratti.
- Il metodo di Galerkin.
- Il metodo degli elementi finiti lineari e quadratici; analisi dell'errore.
- Problemi evolutivi: equazione del calore, metodo di Fourier, theta-metodo.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimento anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare insieme al docente.
Gli appunti del docente sono disponibili sulla pagina del corso.
Il riassunto del programma di ogni lezione viene caricato sulla pagina del corso dopo la lezione stessa.
Gli appunti del docente sono disponibili sulla pagina del corso.
Il riassunto del programma di ogni lezione viene caricato sulla pagina del corso dopo la lezione stessa.
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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