Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (23/09/2024 - 10/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Al termine del corso lo studente avrà acquisito padronanza dei principi e degli strumenti dell’Analisi Funzionale astratta. Mediante le sessioni di esercitazione lo studente imparerà ad applicare le conoscenze teoriche alla risoluzione di problemi espliciti. Inoltre, sarà in grado di formulare e studiare autonomamente problemi dell'Analisi Matematica in spazi di dimensione infinita.
Prerequisiti
È necessaria una buona padronanza del calcolo differenziale, della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue, oltre a nozioni di base di algebra lineare e di topologia.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni. Gli esercizi verranno assegnati con qualche giorno d'anticipo e poi discussi in aula. Le dispense del corso verranno fornite sulla piattaforma KIRO.
Verifica Apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi e la risposta a domande di teoria, e ha una durata di al massimo 3 ore. Tale prova ha l’obiettivo di verificare la conoscenza dei principali risultati teorici e la capacità di applicare a problemi concreti gli strumenti introdotti nel corso. Si può affrontare la prova orale solo se si è ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli esiti della prova scritta saranno comunicati per email. La prova orale consiste in alcune domande con l’obiettivo di verificare il grado di comprensione di tutto il programma svolto nel corso e le capacità espositive. Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità della conoscenza acquisita. Il voto finale sarà stabilito considerando complessivamente l’esito delle due prove.
Testi
H. Brézis: Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, 2011.
G. Gilardi: Analisi funzionale. Argomenti scelti e applicazioni. McGraw-Hill Education, 2021.
H.L. Royden, P.M. Fitzpatrick: Real analysis, 5th edition. Pearson, 2023.
G. Gilardi: Analisi funzionale. Argomenti scelti e applicazioni. McGraw-Hill Education, 2021.
H.L. Royden, P.M. Fitzpatrick: Real analysis, 5th edition. Pearson, 2023.
Contenuti
Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi normati. Operatori lineari e continui. Duale topologico.
Spazi di Banach. Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e forme geometriche, e loro conseguenze. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus. Teorema dell’applicazione aperta, teorema del grafico chiuso e loro conseguenze.
Topologia debole*, topologia debole e loro proprietà. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi riflessivi. Spazi separabili.
Spazi L^p. Riflessività e separabilità in L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz. Approssimazione per convoluzione. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Fréchet-Kolmogorov.
Spazi di Hilbert. Proiezione su un convesso chiuso. Teorema di Riesz di rappresentazione del duale. Teorema di Lax-Milgram. Sistemi ortonormali completi.
Operatori compatti. Operatore aggiunto di un operatore limitato. Teorema dell’alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore compatto. Decomposizione spettrale di un operatore compatto e autoaggiunto.
Spazi di Sobolev in dimensione uno. Cenni agli spazi di Sobolev in dimensione N. Applicazioni a equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche. Autovalori di -Laplaciano con condizioni al bordo di Dirichlet.
Spazi di Banach. Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e forme geometriche, e loro conseguenze. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus. Teorema dell’applicazione aperta, teorema del grafico chiuso e loro conseguenze.
Topologia debole*, topologia debole e loro proprietà. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi riflessivi. Spazi separabili.
Spazi L^p. Riflessività e separabilità in L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz. Approssimazione per convoluzione. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Fréchet-Kolmogorov.
Spazi di Hilbert. Proiezione su un convesso chiuso. Teorema di Riesz di rappresentazione del duale. Teorema di Lax-Milgram. Sistemi ortonormali completi.
Operatori compatti. Operatore aggiunto di un operatore limitato. Teorema dell’alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore compatto. Decomposizione spettrale di un operatore compatto e autoaggiunto.
Spazi di Sobolev in dimensione uno. Cenni agli spazi di Sobolev in dimensione N. Applicazioni a equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche. Autovalori di -Laplaciano con condizioni al bordo di Dirichlet.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Gli studenti appartenenti alle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa possono richiedere di consultare gli appunti delle lezioni del docente e di fissare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare con il docente.
Corsi
Corsi
SCIENZE FISICHE
Laurea Magistrale
2 anni
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