Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi alla teoria delle superfici di Riemann e delle curve algebriche complesse. Aver compreso i concetti elementari riguardo ad alcune delle tecniche impiegate nel loro studio (divisori, fibrati, fasci e loro coomologia). Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria. Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi e fornire esempi.
Prerequisiti
Topologia, elementi di geometria differenziale delle superfici. Elementi di analisi complessa in una variabile. Gruppo fondamentale. Rivestimenti. Omologia. Varietà differenziabili, forme differenziali.
Metodi didattici
Lezioni in aula
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale. Tale prova è volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata che potrà essere verificata sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi riguardanti gli argomenti del corso e risolubili utilizzando gli strumenti introdotti durante le lezioni. Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
1. Rick Miranda: “Algebraic Curves and Riemann Surfaces”, American Mathematical Society. 2. Otto Forster: "Lectures on Riemann Surfaces", Springer. 3. Raghavan Narasimhan: "Compact Riemann Surfaces", Birkhaeuser. 4. Gunning, R. C. Lectures on Riemann surfaces. Princeton Mathematical Notes Princeton University Press, Princeton, N.J. 1966
Contenuti
Superfici di Riemann. Differenziali abeliani. Divisori e funzioni meromorfe, forme meromorfe e sistemi lineari. Fasci e coomologia dei fasci. Curve algebriche e il teorema di Riemann- Roch. La Jacobiana di una curva. Il teorema di Abel e di Torelli. Strutture proiettive
