ID:
500688
Durata (ore):
76
CFU:
9
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso intende fornire una introduzione ai concetti e ai metodi base della topologia e geometria differenziale.
Ci si aspetta che lo studente maturi una certa sensibilità nella dialettica locale/globale, acquisisca dimestichezza con il linguaggio delle varietà e dei fibrati, come strumenti di modellizzazione di problemi geometrici/non lineari, acquisisca una prima idea di un approccio funtoriale, riscopra gli aspetti metrici della geometria all'interno del contesto della geometria Riemanniana.
Ci si aspetta che lo studente maturi una certa sensibilità nella dialettica locale/globale, acquisisca dimestichezza con il linguaggio delle varietà e dei fibrati, come strumenti di modellizzazione di problemi geometrici/non lineari, acquisisca una prima idea di un approccio funtoriale, riscopra gli aspetti metrici della geometria all'interno del contesto della geometria Riemanniana.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Algebra 1, Geometria 1 e 2, Algebra lineare, dei tre corsi di Analisi del primo biennio della laurea triennale
Metodi didattici
Lezioni
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale. Tale prova è volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata che potrà essere verificata sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi riguardanti gli argomenti del corso e risolubili utilizzando gli strumenti introdotti durante le lezioni.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
Gian Pietro Pirola: dispense.
Frank Warner: "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups". Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin.
Bott Tu Differential forms and Algebra Topology, Graduate Text in mathematics 82. Springer Verlag,
Milnor, Topology From differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville
Manfredo Perdigao Do Carmo: "Riemannian Geometry", Birkhaeuser.
Boothby, William M.: "An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry". Pure and Applied Mathematics, No. 63. Academic Press, New York-London, 1975.
Th. Broecker and K. Jaenich: "Introduction to differential topology".
Milnor, J.: "Morse theory". Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
D. Huybrechts: "Complex geometry. An introduction". Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
Frank Warner: "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups". Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin.
Bott Tu Differential forms and Algebra Topology, Graduate Text in mathematics 82. Springer Verlag,
Milnor, Topology From differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville
Manfredo Perdigao Do Carmo: "Riemannian Geometry", Birkhaeuser.
Boothby, William M.: "An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry". Pure and Applied Mathematics, No. 63. Academic Press, New York-London, 1975.
Th. Broecker and K. Jaenich: "Introduction to differential topology".
Milnor, J.: "Morse theory". Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
D. Huybrechts: "Complex geometry. An introduction". Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
Contenuti
Varietà differenziabili: spazio tangente e spazio cotangente, campi vettoriali e forme differenziali. Fibrato tangente e cotangente: cenni sui fibrati vettoriali e costruzioni su di essi. Campi vettoriali, flussi, il bracket di Lie. Campi coordinati, distribuzioni: il teorema di Frobenius.
Elementi di topologia differenziale: lemma di Sard. Teoremi di immersione di Withney. Forme differenziali, differenziale esterno, cosmologia di diRham, coomologia a supporto compatto.
Lemmi di Poincarè. Sequenza lunga di Mayer Vietoris. Dualità di Poincarè. Teorema di De Rham.
Geometria Riemanniana: varietà riemanniane e connessioni di Levi-Civita, curvatura, geodetiche, completezza, teoremi di Hopf-Rinow e di Whitehead, campi di Jacobi.
Elementi di topologia differenziale: lemma di Sard. Teoremi di immersione di Withney. Forme differenziali, differenziale esterno, cosmologia di diRham, coomologia a supporto compatto.
Lemmi di Poincarè. Sequenza lunga di Mayer Vietoris. Dualità di Poincarè. Teorema di De Rham.
Geometria Riemanniana: varietà riemanniane e connessioni di Levi-Civita, curvatura, geodetiche, completezza, teoremi di Hopf-Rinow e di Whitehead, campi di Jacobi.
Lingua Insegnamento
Italiano
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
Persone (3)
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