ID:
500115
Durata (ore):
84
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Lo scopo principale del corso è di fornire una conoscenza rigorosa degli argomenti di base dell'Analisi Matematica per successioni e funzioni a valori reali. I risultati di apprendimento previsti sono: da un lato la conoscenza dei concetti teorici fondamentali e la padronanza delle tecniche di dimostrazione, dall'altra l'abilita' nel calcolo e nella risoluzione di problemi complessi. Più in generale, il corso ha lo scopo di sviluppare le capacita' di ragionamento logico deduttivo e un approccio rigoroso ai problemi.
Prerequisiti
Solida conoscenza della matematica a livello della scuola secondaria e in particolare: risoluzione di equazioni e disequazioni, funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche, calcolo di derivate e integrali elementari.
Metodi didattici
Il corso e' articolato in lezioni frontali ed esercitazioni, strettamente legate tra loro. Le lezioni hanno lo scopo di fornire i concetti e i risultati fondamentali e sono sempre accompagnate da numerosi esempi di riferimento. Le esercitazioni, hanno lo scopo di sviluppare l'abilita' nello svolgimento dei conti e la capacita' di ragionamento nell'affrontare problemi complessi.
Verifica Apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta verifica l'apprendimento delle tecniche di calcolo, la capacità di ragionamento nella risoluzione di problemi, e una conoscenza di base dei concetti e dei risultati principali (selezionati e indicati dal docente). La prova orale, cui si accede in funzione del voto riportato nella prova scritta, approfondisce tutti gli aspetti teorici presentati durante il corso: definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esempi.
L'esame scritto è diviso in due parti (A e B) che prevedono rispettivamente esercizi (con o senza svolgimento) e domande teoriche (definizioni, enunciati di teoremi e una dimostrazione. Ad ognuna delle due parti viene assegnato un punteggio (da 0 a 32/33 punti). Lo scritto viene superato con almeno 16 punti in ciascuna parte (A e B) e con media di almeno 18 punti.
L'orale e' facoltativo per li studenti del Corso di Laurea in Fisica.
L'esame scritto è diviso in due parti (A e B) che prevedono rispettivamente esercizi (con o senza svolgimento) e domande teoriche (definizioni, enunciati di teoremi e una dimostrazione. Ad ognuna delle due parti viene assegnato un punteggio (da 0 a 32/33 punti). Lo scritto viene superato con almeno 16 punti in ciascuna parte (A e B) e con media di almeno 18 punti.
L'orale e' facoltativo per li studenti del Corso di Laurea in Fisica.
Testi
C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2015.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1.
Note ed esercizi del docente.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1.
Note ed esercizi del docente.
Contenuti
NUMERI REALI. Ordinamento e non-numerabilità. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Completezza dei reali. Intervalli. Punti di accumulazione,
FUNZIONI. Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzioni lipschitziane. Funzione inversa, composizione di funzioni. Simmetrie pari e dispari. Funzioni fondamentali.
SUCCESSIONI. Definizione di limite. Successioni di Cauchy. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintototicità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Wierstrass.
SERIE. Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
LIMITI E CONTINUITA'. Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass (dei massimi e dei minimi). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.
DERIVATE. Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde. Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.
INTEGRALI. Definizione di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.
FUNZIONI. Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzioni lipschitziane. Funzione inversa, composizione di funzioni. Simmetrie pari e dispari. Funzioni fondamentali.
SUCCESSIONI. Definizione di limite. Successioni di Cauchy. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintototicità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Wierstrass.
SERIE. Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
LIMITI E CONTINUITA'. Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass (dei massimi e dei minimi). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.
DERIVATE. Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde. Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.
INTEGRALI. Definizione di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Tutti gli studenti, e in particolare quelli nelle categorie elencate del progetto sulla didattica innovativa, avranno la possibilità di scaricare gli appunti delle lezioni. Il ricevimento studenti si svolge anche online. Le informazioni dettagliate sono disponibili su https://mate.unipv.it/negri/didattica/24AM1/24am1.html
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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