500316 - GEOMETRIA 1

insegnamento

ID:

500316

Durata (ore):

84

CFU:

SSD:

GEOMETRIA

Sede:

PAVIA

Anno:

2025

Periodo di attività

Primo Semestre (25/09/2025 - 14/01/2026)

Obiettivi Formativi

Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento del corso sono che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, assiomi di numerabilità e di separazione, topologia di sottospazio, topologia prodotto, topologia quoziente, connessione, compattezza, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base e sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.

Prerequisiti

Un corso di Analisi 1 e un corso di Algebra lineare

Metodi didattici

Lezioni frontali, esercitazioni e tutorato.

Verifica Apprendimento

L'esame consta di una parte scritta e una orale. Lo scritto si divide in due momenti, il primo consiste nello svolgere esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 in tale prova. La seconda parte dello scritto (molto breve) si svolgerà prima dell'orale. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto teorico. L'orale parte di regola dalla discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Gli orali sono pubblici e si svolgono di norma nelle due settimane successive allo scritto.

Testi

Per la geometria: - E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000, - E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 2011  Per la topologia: E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, 2000 - M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014. - C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988 - L. Steen and J. A. Seebach, Counterexamples in Topology (1970, 2nd ed. 1978) (la bibbia dei controesempi topolgici, con esempi di spazi con le più bizzarre topologie possibili) - J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)

Contenuti

Geometria affine, euclidea e proiettiva: Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura.  Teorema di Talete, Pappo e Desargues. Proprietà affini. Formula di Grassmann. Geometria affine in dimensione 2 e 3. Geometria euclidea. Isometrie. Proprietà euclidee (congruenza). Proiezioni. Teorema di Cartan-Dieudonné. Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche. Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale);  sottospazi proiettivi; formula di Grassmann; coordinate omogenee. Coordinate affini nello spazio proiettivo. Teorema di Pappo proiettivo. Proiezione da un punto.  Cenni sulla dualità. Autodualità di Pappo.Teorema di Desargues. Proiettività; proprietà proiettive. Curve algebriche affini e proiettive. Coniche; classificazioni proiettiva e affine. Cenni alle quadriche.  Topologia generale. Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti. Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate. Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile. Basi di uno spazio topologico. Lemma della base.  Sistema fondamentale di intorni.  Assiomi di numerabilità. Successioni a valori in uno spazio topologico. Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme) Funzioni continue tra spazi topologici. Assiomi di separazione: spazi di Hausdorff o T2; spazi T0, T1, T3 e T4. Topologia di sottospazio. Immersioni. Prodotto di spazi topologici. Base canonica. Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza. Spazi regolari, normali e loro proprietà. Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon.  Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. Teorema di Tychonoff. Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni. Successioni di Cauchy. Completezza; estensione del teorema di Heine-Borel. Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali. Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse e componenti connesse per archi.