500173 - MATEMATICA (M-Z)

Il corso si propone di offrire agli studenti le conoscenze necessarie alla comprensione di alcuni semplici modelli matematici applicati in campo medico.
Nella prima parte del corso saranno presentati gli strumenti fondamentali del calcolo analitico, arricchiti da numerosi esempi ed esercizi che ne sottolineino l’importanza applicativa. La seconda parte del corso è dedicata all’analisi di alcuni modelli differenziali applicati in oncologia e in epidemiologia. Al fine di consentire agli studenti di utilizzare questi strumenti previsionali nella loro futura attività professionale, per i modelli
contrassegnati con (∗) sarà fornito il corrispondente codice Matlab.

Successioni. Successione aritmetica (esempio: accrescimento di una massa tumorale). Successione geometrica (esempio: la mitosi cellulare). Somma della successione geometrica. Somma della serie geometrica (esempio: la proliferazione batterica) - (esempio: prevedere il tempo di ricovero nota la probabilità di guarigione e viceversa). Successioni: definizione e proprietà. Limiti e classificazione: convergenti, divergenti, indeterminate (tanti esempi). Gli ordini di infinito e la gerarchia degli infiniti. Il numero di Nepero e interpretato come limite di successione. Proprietà dell’esponenziale in base e. Tanti esercizi sul calcolo dei limiti di successione. Teorema: se una successione `e convergente, allora `e limitata. Teorema: se una successione è monotona, allora non è indeterminata. La successione di Fibonacci (∗): problema dei conigli e convergenza alla sezione aurea.

Limiti. Dominio. Punti aderenti. Chiusura di un insieme. Introduzione al concetto di limite. Limiti notevoli. Limite per x che tende ad un numero finito: la possibilità di ricondursi sempre, con un cambio di variabile, al caso x → 0. Esercizi ed esempi. Funzioni continue. Definizione e proprietà. Stabilità della classe rispetto alle operazioni di somma, sottrazione, prodotto, quoziente e composizione. Teorema di Weierstrass. Esempi: l’indice di massa corporea, l’indice di massa scheletrica, il modello del neurone artificiale. Esercizi ed esempi.

Derivate. Definizione e interpretazione geometrica. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e sinistra. Classificazione dei punti di non-derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Derivata del prodotto, del quoziente e della funzione composta. Funzioni crescenti e d decrescenti: il legame col valore della derivata. Teorema: se una funzione `e derivabile, allora `e continua. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Punti di flesso. Polinomio di Taylor: definizione e applicazione al calcolo dei limiti. Esercizi ed esempi.

Integrali. Applicazione e interpretazione grafica. Esempio: assorbimento di un medicinale durante la chemioterapia. Definizione di funzione primitiva. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali di funzioni elementari. Integrali per parti. Integrali per sostituzione. Integrali di funzioni polinomiali fratte (caso ∆ >0). Esempi: il modello di Poiseuille per determinare la velocità del sangue e la portata di un’arteria (∗). Esercizi.

Curve. Norma di un vettore. Curve nel piano e nello spazio. Sostegno di una curva. Vettore tangente. Curve chiuse. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Esercizi ed esempi.

Equazioni differenziali. Esempio: l’oscillatore armonico. Definizione di equazione differenziale. Problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni autonome. Punti di equilibrio e loro classificazione. Esercizi ed esempi.

Modelli di dinamica di popolazione. Modello di Maltus (∗): derivazione dell’equazione; calcolo esplicito della soluzione; analisi del grafico e del comportamento asintotico; studio e classificazione dei punti di equilibrio; interpretazione dei risultati. Esempio: l’invasione dei gamberetti della Louisiana. Modello di Maltus a tasso variabile (∗): derivazione dell’equazione; calcolo esplicito della soluzione; interpretazione dei risultati. Modello di Maltus con immissione o prelievo (∗): derivazione dell’equazione; calcolo esplicito della soluzione; interpretazione dei risultati. Modello di Verhulst (∗): derivazione dell’equazione; calcolo esplicito della soluzione; analisi del grafico e del comportamento asintotico; studio e classificazione dei punti
di equilibrio; interpretazione dei risultati. Modello di Richards (∗). Modello preda-predatore di Lotka-Volterra (∗): derivazione delle equazioni; studio e classificazione dei punti di equilibrio; analisi del supporto della curva degli stati.

Modelli di crescita tumorale. Modello di Gompertz (melanoma) (∗): derivazione dell’equazione; calcolo esplicito della soluzione; analisi del grafico (fase esponenziale, fase logaritmica, fase di plateau), studio del comportamento asintotico; interpretazione dei risultati. Simulazione di un ciclo di radioterapie. Modello di Bertanlaffy (∗): approssimazione sferica delle cellule tumorali; derivazione dell’equazione; studio e classificazione dei punti di equilibrio; interpretazione dei risultati. Modello di Fister-Panetta (∗): analisi del modello. Ipotesi di Skipper (leucemia murina); ipotesi di Holford-Shiner (deficit enzimatico); ipotesi di Norton-Simon (linfomi di Hodgkin - leucemie acute dei fibroblasti). Studio e classificazione dei punti di equilibrio nell’ipotesi di Norton-Simon. Modello di Torqui (∗): derivazione del sistema dinamico.

Modelli epidemiologici. Modello di Kermack-McKendrick S.I.R. (∗): derivazione del sistema dinamico in tutti i dettagli. Analisi del parametro r0 di potenziale trasmissibilità di una malattia infettiva. Modello Brauer-Van Den Driessche S.I.T.R. (∗). Modelli epidemiologici strutturati per fasce d’età. Il modello per Covid-19 (∗). Parametrizzazione di un modello matematico a partire da dati di monitoraggio di reparto. Simulazioni mediante software Matlab.