ID:
500115
Durata (ore):
84
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (22/09/2025 - 09/01/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso di propone di fornire le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di variabile reale e le tecniche per lo studio di successioni e serie numeriche. I risultati di apprendimento attesi includono: la conoscenza dei concetti fondamentali dell'Analisi Matematica (per funzioni di una variabile), la padronanza delle tecniche dimostrative, lo sviluppo di abilità di calcolo e di capacità di ragionamento logico-deduttivo, l'acquisizione di un lessico scientifico specifico e appropriato, e l’adozione di un approccio metodologico rigoroso.
Prerequisiti
Conoscenze di base di algebra elementare, trigonometria e geometria analitica nel piano. Equazioni e disequazioni algebriche. Funzioni elementari.
Metodi didattici
L’insegnamento si avvale di lezioni frontali con ampio spazio a esempi ed esercizi. La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
Verifica Apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi di calcolo differenziale e integrale, e la risposta a domande di teoria, e ha una durata di al massimo 3 ore. Tale prova ha l’obiettivo di verificare la comprensione dei principali risultati teorici e la capacità di applicare concretamente gli strumenti appresi nel corso. L'accesso alla prova orale è consentito solo se si è ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli esiti della prova scritta saranno comunicati per email. La prova orale consiste in alcune domande volte a verificare il grado di comprensione dell'intero programma svolto e le capacità espositive. Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da valutare la profondità delle conoscenze acquisite. Il voto finale sarà determinato tenendo conto dell’esito complessivo delle due prove.
Testi
E. Acerbi, G. Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica. Universitas Editore Parma, 2023. Altri testi: E. Giusti: Analisi Matematica 1. Bollati Boringhieri, 2002.
Contenuti
Definizione assiomatica dei numeri reali: assiomi algebrici, di ordinamento, di continuità. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Cardinalità: insiemi finiti, infiniti, numerabili. Cardinalità di N, Z, Q e R. Proprietà di Archimede. Densità di Q in R. Prime nozioni di topologia: punti interni, punti isolati e punti di accumulazione.
Funzioni iniettive, suriettive, limitate, monotone, convesse. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro inverse.
Definizione di limite per una successione. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti notevoli. Criterio del rapporto. Relazione di asintototicità. Liminf e limsup di una successione.
Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di condensazione di Cauchy. Criterio di Leibniz. Convergenza assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
Definizioni di limite per funzioni. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia. Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor.
Definizione di derivata e sua interpretazione fisica e geometrica. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Punti di massimo e minimo assoluto o relativo. Punti stazionari. Criterio di monotonia. Problemi di massimo e minimo. Teorema di de l'Hôpital. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano e resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Criteri di convessità. Punti di flesso.
Definizione di integrale secondo Riemann. Somme alla Cauchy. Linearità dell'integrale. Monotonia dell'integrale. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema di spezzamento dell'integrale rispetto al dominio. Primitive. Funzione integrale. Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione.
Funzioni iniettive, suriettive, limitate, monotone, convesse. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari e loro inverse.
Definizione di limite per una successione. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti notevoli. Criterio del rapporto. Relazione di asintototicità. Liminf e limsup di una successione.
Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di condensazione di Cauchy. Criterio di Leibniz. Convergenza assoluta. Criterio di convergenza assoluta.
Definizioni di limite per funzioni. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia. Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor.
Definizione di derivata e sua interpretazione fisica e geometrica. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Punti di massimo e minimo assoluto o relativo. Punti stazionari. Criterio di monotonia. Problemi di massimo e minimo. Teorema di de l'Hôpital. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano e resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Criteri di convessità. Punti di flesso.
Definizione di integrale secondo Riemann. Somme alla Cauchy. Linearità dell'integrale. Monotonia dell'integrale. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema di spezzamento dell'integrale rispetto al dominio. Primitive. Funzione integrale. Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Gli studenti appartenenti alle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa possono richiedere di consultare gli appunti delle lezioni del docente e di fissare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare con il docente.
Corsi
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FISICA
Laurea
3 anni
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