Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi alle somme di v.a. e alle catene i Markov discrete e relative proprietà asintotiche. Aver compreso i concetti di matrice di transizione, di legge di una traiettoria, classificazione degli stati e misure invarianti. Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria. Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi di modellizzazione probabilistica.
Prerequisiti
conoscenza degli argomenti trattati nel corso di Elementi di Probabilità
Metodi didattici
Lezioni teoriche (32 ore) alternate ad esercitazioni (24 ore) in cui verranno trattati esempi e svolti alcuni esercizi sugli argmomenti svolti a lezione.
Verifica Apprendimento
L'esame e' costituito da due prove. Nella prova scritta vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nel calcolo e nella risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Gli esercizi si articoleranno in domande di difficoltà variabile volte a stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze. Se lo studente totalizza nella prova scritta un voto superiore a 18/30 è ammesso alla prova orale. Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, della chiarezza con cui esse vengono presentate e sulla capacità dello studente di applicarle. La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi. Il voto è deciso dalla commissione esaminatrice e si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Testi
1. G. Grimmett and D. Stirzaker (2020) Probability and Random Processes. Oxford University Press 2. R. Durrett (2016) Essentials of Stochastic Processes. Springer
Contenuti
PARTE 1: somme di variabili aleatorie. - richiami sulla distribuzione binomiale - Approssimazione normale di Bernoulli- Laplace - Indipendenza incrementi - Tempi di successo - Barriere e Prinicpio di riflessione - Ricorrenza e tempi di primo ritorno - Leggi delle traiettorie PARTE 2: Catene di Markov. - proprietà di Markov, matrice di transizione - Esempi di catene - Legge della traiettoria, Chapman-Kolmogorov, cenni di esistenza (Teo di Daniell) - Classificazione degli stati - Transienza, ricorrenza positiva e nulla - Periodicità - Misure invarianti, esistenza e unicità, reversibilità in tempo PARTE 3: proprietà asintotiche. - richiami sulle convergenze e teoremi limite classici - Teorema ergodico per catene - Convergenza all’equilibrio - Metodo di Montecarlo
