ID:
500659
Durata (ore):
78
CFU:
9
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (22/09/2025 - 09/01/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Lo scopo del corso è quello di guidare lo studente attraverso i principi e gli strumenti dell'Analisi Funzionale astratta e di (alcune) sue importanti applicazioni. Al termine del corso lo studente avrà acquisito le conoscenze e le capacità necessarie per iniziare a formulare e studiare in autonomia i problemi dell'Analisi Matematica in dimensione infinita.
Prerequisiti
I prerequisiti necessari sono la buona padronanza -del calcolo differenziale -della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue -delle nozioni di base di algebra lineare e di topologia.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Verifica Apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi ed, eventualmente, la risposta a domande di teoria. La prova scritta è volta a verificare se lo studente ha compreso e padroneggia i concetti, gli strumenti e le tecniche sviluppate nel corso. La prova orale, a cui si accede solo se la prova scritta è risultata sufficiente, completa la prova scritta ed approfondisce la verifica della comprensione dei temi trattati durante il corso. La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi. Il voto finale si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Testi
-H. Brézis: Analisi Funzionale, Liguori Editore. -G. Gilardi: Analisi Funzionale. Mc Graw Hill, 2014 H. Brézis: Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, 2011.
Contenuti
Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi normati. Operatori lineari e continui. Duale topologico. Spazi di Banach. Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e forme geometriche, e loro conseguenze. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus. Teorema dell’applicazione aperta, teorema del grafico chiuso e loro conseguenze. Topologia debole*, topologia debole e loro proprietà. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi riflessivi. Spazi separabili. Spazi L^p. Riflessività e separabilità in L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz. Approssimazione per convoluzione. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Fréchet-Kolmogorov. Spazi di Hilbert. Proiezione su un convesso chiuso. Teorema di Riesz di rappresentazione del duale. Teorema di Lax-Milgram. Sistemi ortonormali completi. Operatori compatti. Operatore aggiunto di un operatore limitato. Teorema dell’alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore compatto. Decomposizione spettrale di un operatore compatto e autoaggiunto. Spazi di Sobolev in dimensione uno. Cenni agli spazi di Sobolev in dimensione N. Applicazioni a equazioni alle derivate parziali lineari ellittiche.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi. Il voto finale si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Corsi
Corsi
SCIENZE FISICHE
Laurea Magistrale
2 anni
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