Il corso si propone di fornire agli Studenti alcune nozioni sulle serie di potenze e, soprattutto, le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Si insisterà sulla comprensione e sull'assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli Studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli riguardanti serie di potenze, derivate parziali o direzionali, integrali multipli, di linea o di superficie, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.
Prerequisiti
Il corso fa parte della formazione matematica di base degli studenti in Ingegneria. Per seguire meglio il corso lo studente deve aver frequentato i corsi e acquisito le conoscenze di base, in Analisi Matematica I, Geometria e Algebra Lineare. In particolar modo, è necessario che lo studente padroneggi derivate e integrali per funzioni di una variabile reale, serie numeriche, calcolo vettoriale e matriciale.
Metodi didattici
Lezioni (ore/anno in aula): 45 Esercitazioni (ore/anno in aula): 38 Attività pratiche (ore/anno in aula): 0
Verifica Apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale facoltativa. La prova scritta prevede: la risoluzione di esercizi e la risposta a domande di natura teorica. La prova orale deve essere sostenuta nel medesimo appello dello scritto e prevede: enunciati e dimostrazione dei teoremi, definizioni, esempi e controesempi fondamentali.
Testi
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 2. Zanichelli, Bologna, 2009. S. Salsa e A. Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 2. Zanichelli, Bologna, 2011.
Contenuti
• Serie di potenze: definizione e proprietà principali; derivazione e integrazione. Serie di Taylor. • Calcolo differenziale in più variabili. Principali nozioni topologiche in R^n. Limiti e continuità. Derivate parziali, derivate direzionali e gradienti. Derivate di ordine superiore. Differenziabilità. Ottimizzazione libera e vincolata. • Integrali multipli. Integrali doppi e tripli: definizione e proprietà principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali: formule di riduzione; cambiamenti di variabili. • Integrali di linea e integrali di superficie. Curve in forma parametrica. Curve rettificabili e lunghezza d'arco. Superfici in forma parametrica. Area di una superficie; superfici di rotazione. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d'arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. Gli operatori rotore e divergenza. • Campi conservativi. Il teorema di Green nel piano. I teoremi di Stokes e della divergenza nello spazio.
