500121 - ANALISI MATEMATICA 2

• Curve in R^N. Arco di curva continua, sostegno della curva; curva semplice, chiusa. Parametrizzazioni di un segmento, di una circonferenza, di un'ellisse; curva grafico di una funzione, curva in R^2 in forma polare. Curva regolare, regolare a tratti. Vettore tangente. Lunghezza di una curva rettificabile. Curve equivalenti e cambiamenti di parametrizzazione. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di prima specie e suo significato geometrico e fisico. Invarianza dell'integrale di prima specie per parametrizzazioni equivalenti e cambio di orientazione.

• Funzioni di più variabili. Palla aperta in R^N. Definizione di limite finito e infinito. Continuità di funzioni di più variabili. Punto interno, esterno, di frontiera. Insieme aperto, chiuso, limitato, connesso. Intorno di un punto. Proprietà degli insiemi aperti e degli insiemi chiusi. Interno, bordo, chiusura di un insieme. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.

• Calcolo differenziale per funzioni scalari. Derivate parziali. Gradiente. Differenziabilità in un punto. La differenziabilità implica la derivabilità e la continuità . Iperpiano tangente. Teorema del differenziale totale (condizione sufficiente per la differenziabilità). Derivata direzionale. Formula del gradiente. Derivazione delle funzioni composte. Ortogonalità del gradiente rispetto agli insiemi di livello. Una funzione con gradiente nullo su un aperto connesso è costante. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor del secondo ordine con resto in forma di Lagrange e in forma di Peano. Definizione di punto di massimo/minimo locale/assoluto/stretto; punto critico. Teorema di Fermat. Forma quadratica definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa, indefinita. Criterio degli autovalori. Criterio dei minori incapsulati. Punto di sella. Condizione necessaria al secondo ordine e condizione sufficiente per la minimalità/massimalità locale. Classificazione dei punti critici tramite la matrice Hessiana.

• Funzioni vettoriali. Continuità e differenziabilità di una funzione vettoriale di più variabili reali. Matrice Jacobiana. Differenziale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Trasformazioni di coordinate in R^2 e in R^3.

• Superfici in R^3. Definizione di superficie. Linee coordinate. Superficie regolare, punti singolari. Piano tangente. Versore normale. Superfici cartesiane. Superfici di rotazione.

• Applicazioni del calcolo differenziale. Funzioni implicite: Teorema di Dini, esistenza e continuità della funzione implicita. Formula della derivata della funzione implicita. Estensione a più variabili. Estremi vincolati. Definizione di punto di estremo vincolato. Metodo parametrico (vincolo esplicitabile). Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Funzione Lagrangiana. Moltiplicatori di Lagrange nel caso di M vincoli.

• Calcolo integrale in più variabili. Definizione di integrale di Riemann in più variabili e sue caratterizzazioni. Misura di Peano-Jordan: insiemi misurabili e insiemi di misura nulla. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni generalmente continue. Proprietà dell'integrale e della misura. Teorema della media. Teorema di riduzione. Principio di Cavalieri. Integrazione per fili e per strati. Volume dei solidi di rotazione. Domini normali e integrazione sui domini normali. Teorema di cambiamento di variabili. Coordinate polari nel piano e coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Teorema di Guldino. Applicazioni: calcolo di baricentri e momenti di inerzia.

• Campi vettoriali. Definizione di campi vettoriali e scalari. Operatori differenziali: gradiente, Laplaciano, rotore e divergenza. Identità per operatori differenziali. Campi irrotazionali e solenoidali. Integrale di linea di seconda specie di un campo vettoriale: lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziale. Campi conservativi e campi irrotazionali: calcolo del potenziale. Formule di Gauss-Green e Teorema della Divergenza nel piano. Area e integrali di superfici. Superfici orientate e flusso attraverso una superficie. Teorema della Divergenza. Teorema di Stokes.