Questo corso è la naturale prosecuzione del corso di Probabilità della Laurea Magistrale. Gli obiettivi comprendono lo studio teorico dei processi stocastici a tempo continuo e il calcolo stocastico. Alla fine del corso, lo studente dovrebbe conoscere le basi del calcolo stocastico dei processi continui e dovrebbe saper usare questa teoria nelle applicazioni del calcolo delle probabilità.
Prerequisiti
I corsi di Probabilità e di Analisi Funzionale della Laurea Magistrale.
Metodi didattici
Lezioni frontali (durante le quali verranno anche svolti esercizi).
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale. Tale prova è volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici e degli esercizi svolti a lezione. Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze. La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
Il principale testo di riferimento è 1. Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, P. Baldi, Springer (2017)
Altri testi utili per il corso sono 1. Stochastic differential equations: an introduction with applications, B. Oksendal, Springer Science & Business Media (2013) 2. Brownian motion, martingales, and stochastic calculus, Jean-François Le Gall, Springer International Publishing Switzerland, (2016) 3. Stochastic differential equations and diffusion processes, Nobuyuki Ikeda and Shinzo Watanabe. Vol. 24. Elsevier, (2014) 4. Multidimensional diffusion processes, Daniel W. Stroock and SR Srinivasa Varadhan. Springer, (2007) 5. Numerical solution of SDE through computer experiments, Peter Eris Kloeden, Eckhard Platen, and Henri Schurz. Springer Science & Business Media, (2012)
Contenuti
a. Definizione di processo stocastico a tempo continuo, di processi Gaussiani e moto Browniano. Costruzione del moto Browniano. Cenni della teoria delle martingale a tempo discreto e generalizzazione per martingale a tempo continuo con traiettorie continue.
b. Definizione d'integrale di Ito rispetto al moto Browniano. Formula di Ito e applicazioni. Teorema di Girsanov.
c. Teoria delle equazioni differenziali stocastiche (SDEs) guidate dal moto Browniano. Nozioni di esistenza e teoremi di esistenza e unicità. Funzioni di Lyapunov per SDEs. Relazioni tra le soluzioni di SDEs ed equazioni alle derivate parziali paraboliche (equazione di Kolmogorov).
