ID:
502225
Durata (ore):
84
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso, diviso in due parti, si propone di fornire un'esposizione sistematica della teoria astratta della misura, con complementi sul teorema fondamentale del calcolo integrale, e di presentare le definizioni e i primi risultati sugli spazi normati, di Banach e in particolare di Hilbert, discutendo anche di proiezioni e serie di Fourier astratte. La teoria e' accompagnata da esempi ed esercizi. I risultati di apprendimento attesi sono la comprensione e la conoscenza degli argomenti trattati a lezione per teoria della misura e spazi di funzioni e la capacità di costruire esempi e risolvere problemi connessi alla materia trattata.
Prerequisiti
Si presuppongono note le nozioni fondamentali dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e del corso di Algebra Lineare.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni in aula, per la gran parte svolte alla lavagna. Disponibilita' a discutere con gli studenti nell'ambito delle ore di ricevimento.
Verifica Apprendimento
L’esame consta di una parte scritta e di una parte orale. Nello scritto (durante il quale non e' consentito l'uso di appunti, testi, minicalcolatori, .), di durata di non maggiore di 2 ore,
vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nella comprensione e risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Gli esercizi si articoleranno in modo da coprire i diversi argomenti sviluppati durante il corso.
L'esito della prova scritta non e' vincolante per la partecipazione alla prova orale e la buona riuscita dell'esame, ma ovviamente costituisce un importante elemento di giudizio per la valutazione finale.
Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, sulla chiarezza dell’esposizione e sulla capacità dello studente di applicare le nozioni apprese.
La formulazione del voto si otterrà dal confronto della valutazione della parte scritta e della parte orale.
vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nella comprensione e risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Gli esercizi si articoleranno in modo da coprire i diversi argomenti sviluppati durante il corso.
L'esito della prova scritta non e' vincolante per la partecipazione alla prova orale e la buona riuscita dell'esame, ma ovviamente costituisce un importante elemento di giudizio per la valutazione finale.
Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, sulla chiarezza dell’esposizione e sulla capacità dello studente di applicare le nozioni apprese.
La formulazione del voto si otterrà dal confronto della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Testi
G. Gilardi: Analisi Matematica di Base, McGraw-Hill
G. Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill
H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori
Si veda anche il materiale didattico reperibile sulla pagina web del corso.
G. Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill
H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori
Si veda anche il materiale didattico reperibile sulla pagina web del corso.
Contenuti
Teoria della misura. Misura di Lebesgue, sigma-algebre, misure, funzioni misurabili, integrale di Lebesgue, teoremi di passaggio al limite sotto integrale, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze.
Misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini. Misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo.
Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Completezza.
Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt).
Programma esteso
Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo.
Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Completezza.
Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt). Convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.
Misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini. Misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo.
Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Completezza.
Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt).
Programma esteso
Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo.
Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Completezza.
Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt). Convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente è a disposizione degli studenti per fornire loro indicazioni e suggerimenti per la scelta di testi e materiale didattico, oltre a proposte di esercizi, prove d'esame e materiale teorico di supporto. Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare insieme al docente, o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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