ID:
504161
Durata (ore):
60
CFU:
6
SSD:
GEOMETRIA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Gli studenti incontreranno i principali temi della teoria dell’omotopia e dell’omologia. Circa l’omotopia acquisiranno la capacità di descrivere retrazioni per deformazione e equivalenze omotopiche tra spazi, di definire rivestimenti su di essi e di mettere in relazione rivestimenti e sottogruppi caratteristici. Sapranno anche riconoscere le superfici connesse e compatte. Circa l’omologia assimileranno le basi della teoria dell’omologia singolare, comprendendo come in essa siano verificati gli assiomi di una teoria omologica generale, e sapranno descrivere uno spazio come complesso di celle, calcolando in questo modo i principali invarianti, anche facendo uso di successioni esatte e altri strumenti di algebra omologica.
Prerequisiti
Nozioni di base di teoria dei gruppi, algebra lineare e topologia generale, e conoscenza del gruppo fondamentale e del teorema di Van Kampen.
Metodi didattici
Lezioni e esercitazioni
Verifica Apprendimento
L’esame consta di
- una prova scritta, in cui le domande avranno una graduazione che permette di identificare il livello di competenza raggiunto dagli studenti tramite la risoluzione di esercizi in cui vanno descritte retrazioni o equivalenze omotopiche, rivestimenti e strutture cellulari e calcolati sottogruppi caratteristici e gruppi di omologia, dimostrando di saper utilizzare i risultati e i concetti del corso anche per analizzare altre questioni topologiche;
- una prova orale, costituita da domande di difficoltà variabile, in cui gli studenti dovranno dimostrare di aver acquisito familiarità con i concetti del corso e di saperli enunciare e spiegare con chiarezza, nonché di saperli applicare per risolvere problemi proposti durante la prova stessa.
Il voto prende in considerazione ambedue le parti, valutando la profondità della comprensione dimostrata, la chiarezza espositiva e la capacità di applicare gli strumenti a situazioni ed esempi anche diversi da quelli già svolti durante le lezioni. La valutazione non deriva da una media artimetica delle due prove, né da un’altra formula automatica, ma da una considerazione globale della preparazione mostrata.
- una prova scritta, in cui le domande avranno una graduazione che permette di identificare il livello di competenza raggiunto dagli studenti tramite la risoluzione di esercizi in cui vanno descritte retrazioni o equivalenze omotopiche, rivestimenti e strutture cellulari e calcolati sottogruppi caratteristici e gruppi di omologia, dimostrando di saper utilizzare i risultati e i concetti del corso anche per analizzare altre questioni topologiche;
- una prova orale, costituita da domande di difficoltà variabile, in cui gli studenti dovranno dimostrare di aver acquisito familiarità con i concetti del corso e di saperli enunciare e spiegare con chiarezza, nonché di saperli applicare per risolvere problemi proposti durante la prova stessa.
Il voto prende in considerazione ambedue le parti, valutando la profondità della comprensione dimostrata, la chiarezza espositiva e la capacità di applicare gli strumenti a situazioni ed esempi anche diversi da quelli già svolti durante le lezioni. La valutazione non deriva da una media artimetica delle due prove, né da un’altra formula automatica, ma da una considerazione globale della preparazione mostrata.
Testi
In ordine di importanza per il corso:
- E. Munkres, Topology, Pearson, (ma ci sono altre edizioni)
- E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology, CRC Press (ma ci sono altri editori)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli, 2004 (l'ultima edizione).
- M. Manetti, Topologia. Springer, 2014 (seconda edizione).
- A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press (disponibile liberamente online)
- M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology".
- W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag.
- E. Munkres, Topology, Pearson, (ma ci sono altre edizioni)
- E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology, CRC Press (ma ci sono altri editori)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli, 2004 (l'ultima edizione).
- M. Manetti, Topologia. Springer, 2014 (seconda edizione).
- A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press (disponibile liberamente online)
- M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology".
- W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag.
Contenuti
Teorema della curva di Jordan. Classificazione delle superfici. Triangolazioni, caratteristica di Eulero-Poincarè, orientazione.
Invarianti omotopici, retrazioni e equivalenze omotopiche. Rivestimenti. Prime nozioni di algebra omologica.
Omologia singolare e sue proprietà omotopiche, omologia relativa, teoria assiomatica dell'omologia.
Complessi simpliciali, CW-complessi.
Invarianti omotopici, retrazioni e equivalenze omotopiche. Rivestimenti. Prime nozioni di algebra omologica.
Omologia singolare e sue proprietà omotopiche, omologia relativa, teoria assiomatica dell'omologia.
Complessi simpliciali, CW-complessi.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Ricevimento su appuntamento (meglio mandare una mail)
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica
innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in orari serali e di visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica
innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in orari serali e di visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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