Lo scopo del corso e` di introdurre alcune nozioni di base dell'algebra. Ci si aspetta che gli studenti ottengano una buona comprensione (sia teorica che pratica) di alcune strutture algebriche fondamentali: gruppi e anelli.
Prerequisiti
I contenuti del corso di Algebra Lineare.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni
Verifica Apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta, durante la quale lo studente deve risolvere alcuni esercizi, e da una prova orale, durante la quale lo studente deve rispondere ad alcune domande di tipo soprattutto teorico. Scritto e orale vanno sostenuti nello stesso appello.
Testi
Dispense fornite dai docenti. I.N. Herstein: "Algebra", Editori Riuniti. M. Artin: "Algebra", Bollati Boringhieri.
Contenuti
I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze. Gruppi: definizione ed esempi; gruppi abeliani. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi; nucleo di un omomorfismo. Prodotto diretto di gruppi. Gruppi ciclici e generatori di un gruppo. Ordine di un elemento. Indice di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali; gruppo quoziente modulo un sottogruppo normale. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi. Anelli (commutativi e non), domini di integrita`, anelli con divisione e campi. Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli. Teorema cinese del resto. Ideali primi e massimali. Polinomi a coefficienti in un anello. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica. Criteri di irriducibilita` per polinomi. Campi algebricamente chiusi; il "teorema fondamentale dell'algebra".
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare con il docente, o di visionare le registrazioni delle lezioni degli anni precedenti.