ID:
502207
Durata (ore):
84
CFU:
9
SSD:
GEOMETRIA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (27/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base della teoria dell’omotopia, del gruppo fondamentale e della geometria differenziale di curve e superfici immerse.
Sapere riprodurre con consapevolezza le varie fasi dimostrative dei risultati teorici più importanti.
Saper utilizzare i risultati teorici per il calcolo del gruppo fondamentale di spazi topologici adattando al contesto strumenti e tecniche viste a lezione.
Saper affrontare lo studio di curve e superfici differenziabili (calcolo delle forme fondamentali, della curvatura di Gauss, aree,...)
Sapere riprodurre con consapevolezza le varie fasi dimostrative dei risultati teorici più importanti.
Saper utilizzare i risultati teorici per il calcolo del gruppo fondamentale di spazi topologici adattando al contesto strumenti e tecniche viste a lezione.
Saper affrontare lo studio di curve e superfici differenziabili (calcolo delle forme fondamentali, della curvatura di Gauss, aree,...)
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Algebra lineare, Geometria 1, Algebra 1, Analisi matematica 1 e 2.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Verifica Apprendimento
L’esame consta di una parte scritta e di una parte orale, da svolgersi nella stessa sessione d'esame (tipicamente la settimana successiva).
Lo scritto è composto da due o tre esercizi, con almeno un esercizio per ciascuno dei due argomenti del corso. Vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nell'applicazione dei principali contenuti teorici presentati a lezione, nel calcolo del gruppo fondamentale e della classe di equivalenza omotopica degli spazi topologici e nello studio di curve e superfici differenziabili. Gli esercizi si articoleranno in domande di difficoltà variabile volte a stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze.
Durante lo scritto non è possibile utilizzare appunti o libri. Saranno a disposizione per la consultazione delle copie dei libri consigliati in bibliografia. Inoltre, verranno forniti agli studenti dei formulari utilizzabili durante lo scritto.
Per accedere all’orale è richiesto che nella prova scritta lo studente consegua un punteggio minimo di 15 punti su 30.
Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, della chiarezza con cui esse vengono presentate e sulla capacità dello studente di applicarle.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi. Il voto si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Lo scritto è composto da due o tre esercizi, con almeno un esercizio per ciascuno dei due argomenti del corso. Vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nell'applicazione dei principali contenuti teorici presentati a lezione, nel calcolo del gruppo fondamentale e della classe di equivalenza omotopica degli spazi topologici e nello studio di curve e superfici differenziabili. Gli esercizi si articoleranno in domande di difficoltà variabile volte a stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze.
Durante lo scritto non è possibile utilizzare appunti o libri. Saranno a disposizione per la consultazione delle copie dei libri consigliati in bibliografia. Inoltre, verranno forniti agli studenti dei formulari utilizzabili durante lo scritto.
Per accedere all’orale è richiesto che nella prova scritta lo studente consegua un punteggio minimo di 15 punti su 30.
Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, della chiarezza con cui esse vengono presentate e sulla capacità dello studente di applicarle.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi. Il voto si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Testi
M. Abate, F. Tovena. "Curve e Superfici". Springer
M.P. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice-Hall
D. L. Johnson: "Presentation of Groups", Cambridge University press
R. Lyndon, P. Schupp: "Combinatorial Group Theory", Springer
E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri.
M. Manetti: "Topologia", Springer.
C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.
J. Munkres: "Topology", Pearson.
M.P. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice-Hall
D. L. Johnson: "Presentation of Groups", Cambridge University press
R. Lyndon, P. Schupp: "Combinatorial Group Theory", Springer
E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri.
M. Manetti: "Topologia", Springer.
C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.
J. Munkres: "Topology", Pearson.
Contenuti
Il corso è articolato in due parti.
La prima parte introduce alla geometria differenziale delle curve e delle superfici immerse, mentre la seconda è dedicata a introdurre la teoria dell’omotopia e il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
Programma esteso
Curve
Geometria differenziale delle curve. Curve regolari in R^3. Ascissa curvilinea di una curva regolare, rappresentazione intrinseca. Il triedro fondamentale e formule di Frenet. Curvatura e torsione di una curva regolare e significato geometrico.
Superfici
Geometria differenziale delle superfici. Superficie regolare di classe in R^3. Diffeomorfismi tra superfici regolari. Il piano tangente ad una superficie regolare in un punto. La prima forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Superfici orientabili. La mappa di Gauss di una superficie regolare orientabile. La seconda forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Curvatura normale in un punto e teorema di Meusnier. Curvature principali e direzioni principali. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Curve asintotiche. Le superfici di rotazione e le superfici rigate. Isometrie tra superfici regolari. Il Teorema Egregium di Gauss. Curve geodetiche. Il Teorema di Gauss-Bonnet.
Omotopia e gruppo fondamentale
Omotopia di mappe. Retratti e retratti di deformazione.
Omotopia di archi. Prodotto di archi. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico X. Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Invarianza del gruppo fondamentale per omeomorfismi e per equivalenze omotopiche. Gruppo fondamentale del prodotto di spazi topologici. Spazi topologici contraibili. Teorema di Van Kampen. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale.
La prima parte introduce alla geometria differenziale delle curve e delle superfici immerse, mentre la seconda è dedicata a introdurre la teoria dell’omotopia e il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
Programma esteso
Curve
Geometria differenziale delle curve. Curve regolari in R^3. Ascissa curvilinea di una curva regolare, rappresentazione intrinseca. Il triedro fondamentale e formule di Frenet. Curvatura e torsione di una curva regolare e significato geometrico.
Superfici
Geometria differenziale delle superfici. Superficie regolare di classe in R^3. Diffeomorfismi tra superfici regolari. Il piano tangente ad una superficie regolare in un punto. La prima forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Superfici orientabili. La mappa di Gauss di una superficie regolare orientabile. La seconda forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Curvatura normale in un punto e teorema di Meusnier. Curvature principali e direzioni principali. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Curve asintotiche. Le superfici di rotazione e le superfici rigate. Isometrie tra superfici regolari. Il Teorema Egregium di Gauss. Curve geodetiche. Il Teorema di Gauss-Bonnet.
Omotopia e gruppo fondamentale
Omotopia di mappe. Retratti e retratti di deformazione.
Omotopia di archi. Prodotto di archi. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico X. Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Invarianza del gruppo fondamentale per omeomorfismi e per equivalenze omotopiche. Gruppo fondamentale del prodotto di spazi topologici. Spazi topologici contraibili. Teorema di Van Kampen. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Ricevimento su appuntamento (mandate una mail al docente)
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica
innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in orari serali e di visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica
innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in orari serali e di visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
Persone (2)
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