ID:
502210
Durata (ore):
84
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
I risultati di apprendimento attesi sono:
(prima parte)
- Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi ai problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali scalari e vettoriali, con particolare riguardo ai sistemi lineari. Aver compreso i concetti elementari riguardo alla stabilità dei punti di equilibrio.
- Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
- Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi e tipologie standard di esercizi relativi alle equazioni differenziali.
- Saper affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali (ad esempio lo studio qualitativo delle soluzioni di un’equazione scalare) adattando al contesto strumenti e dimostrazioni incontrate e già utilizzate nel corso.
(seconda parte)
- Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi alle funzioni olomorfe.
- Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
- Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi standard relativi all'Analisi Complessa a livello elementare.
- Saper affrontare lo studio di alcuni problemi di Analisi Complessa che richiedano l'adattamento al contesto di strumenti e dimostrazioni incontrate e già utilizzate nel corso.
(prima parte)
- Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi ai problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali scalari e vettoriali, con particolare riguardo ai sistemi lineari. Aver compreso i concetti elementari riguardo alla stabilità dei punti di equilibrio.
- Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
- Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi e tipologie standard di esercizi relativi alle equazioni differenziali.
- Saper affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali (ad esempio lo studio qualitativo delle soluzioni di un’equazione scalare) adattando al contesto strumenti e dimostrazioni incontrate e già utilizzate nel corso.
(seconda parte)
- Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi alle funzioni olomorfe.
- Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
- Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi standard relativi all'Analisi Complessa a livello elementare.
- Saper affrontare lo studio di alcuni problemi di Analisi Complessa che richiedano l'adattamento al contesto di strumenti e dimostrazioni incontrate e già utilizzate nel corso.
Prerequisiti
È richiesta la conoscenza dei principali contenuti dei corsi di Analisi Matematica e di Algebra Lineare del primo anno di corso, in particolare: calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, forme differenziali, matrici e trasformazioni lineari.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni. Saranno svolte alcune ore di tutorato al di fuori dell'orario ufficiale dell'insegnamento, concordando con gli studenti gli orari più opportuni.
Verifica Apprendimento
L’esame è formato da una prova scritta e da una prova orale. La prima mira prevalentemente a verificare il livello di acquisizione delle principali tecniche introdotte nel corso per lo studio delle equazioni differenziali o per la risoluzione di alcune tipologie di problemi in Analisi Complessa. Saranno rese disponibile alcune prove scritte svolte negli anni accademici precedenti.
Nella prova orale (cui si accede se il voto riportato nella prova scritta non è inferiore a 16/30) si cerca di approfondire la verifica dell’acquisizione del quadro teorico di riferimento nel quale sono collocati i principali argomenti trattati.
NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sarà possibile optare, come modalità alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalità "reading course": la prova d'esame sarà solamente orale, lo studente dovrà conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verrà fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Nella prova orale (cui si accede se il voto riportato nella prova scritta non è inferiore a 16/30) si cerca di approfondire la verifica dell’acquisizione del quadro teorico di riferimento nel quale sono collocati i principali argomenti trattati.
NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sarà possibile optare, come modalità alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalità "reading course": la prova d'esame sarà solamente orale, lo studente dovrà conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verrà fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Testi
Alcuni testi che possono essere utilmente consultati.
Per la parte di Equazioni Differenziali:
- C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2. Zanichelli.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica Vol. 2. Zanichelli.
- M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
Per la parte di Analisi Complessa:
- E. Stein, S. Shakarchi: Complex Analysis. Princeton University Press, 2003
- R. Narasimhan, Y. Nievergelt: Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, 2000
- R. E. Rodríguez, I. Kra, J. P. Gilman: Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers (Graduate Texts in Mathematics, 245), Springer
- G. Gilardi, Analisi Matematica 3. McGraw- Hill Italia.
Saranno inoltre fornite dispense.
Per la parte di Equazioni Differenziali:
- C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2. Zanichelli.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica Vol. 2. Zanichelli.
- M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
Per la parte di Analisi Complessa:
- E. Stein, S. Shakarchi: Complex Analysis. Princeton University Press, 2003
- R. Narasimhan, Y. Nievergelt: Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, 2000
- R. E. Rodríguez, I. Kra, J. P. Gilman: Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers (Graduate Texts in Mathematics, 245), Springer
- G. Gilardi, Analisi Matematica 3. McGraw- Hill Italia.
Saranno inoltre fornite dispense.
Contenuti
Il corso è articolato in due parti: la prima è dedicata alle equazioni differenziali ordinarie, la seconda introduce ai risultati di base dell'Analisi Complessa in una variabile. Più estesamente:
Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicità, Teorema di Peano, prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari: struttura delle soluzioni, matrice esponenziale. Comportamento asintotico e stabilità (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov).
Seconda parte. Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Differenziabilità complessa e analiticità. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarità. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui; applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprietà di base delle funzioni olomorfe.
NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sarà possibile optare, come modalità alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalità "reading course": la prova d'esame sarà solamente orale e lo studente dovrà conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verrà fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicità, Teorema di Peano, prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari: struttura delle soluzioni, matrice esponenziale. Comportamento asintotico e stabilità (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov).
Seconda parte. Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Differenziabilità complessa e analiticità. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarità. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui; applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprietà di base delle funzioni olomorfe.
NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sarà possibile optare, come modalità alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalità "reading course": la prova d'esame sarà solamente orale e lo studente dovrà conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verrà fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Dettagli e materiali saranno forniti tramite la pagina Kiro del corso.
Coloro che si trovassero nell'impossibilità (certificata secondo le norme di ateneo) di seguire le lezioni sono invitati a contattare il docente in modo da poter individuare le modalità alternative più consone.
Coloro che si trovassero nell'impossibilità (certificata secondo le norme di ateneo) di seguire le lezioni sono invitati a contattare il docente in modo da poter individuare le modalità alternative più consone.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea
3 anni
No Results Found