ID:
510819
Durata (ore):
24
CFU:
3
SSD:
FISICA MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si prepone l’obiettivo di portare lo studente ad una solida conoscenza delle basi e di alcuni complementi della Geometria Simplettica e di Poisson nonchè di certi aspetti della teoria di Lie, e di conoscerne la rilevanza per le applicazioni in Fisica Matematica. Il corso sarà focalizzato a preparare lo studente allo studio successivo di temi moderni come la teoria degli algebroidi e dei gruppoidi di Lie.
Prerequisiti
Nozioni di base di geometria differenziale: forme differenziali e campi vettoriali su varietà differenziabili, pushforward e pullback lungo mappe lisce.
Nozioni di base di coomologia di de Rham.
Sono utili le basi della meccanica razionale/analitica: formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano.
Nota: in linea di principio il corso può essere seguito in parallelo al corso di istituzioni di geometria, ma alcuni elementi di base saranno formalmente introdotti in "istituzioni" dopo essere stati usati in questo corso.
Nozioni di base di coomologia di de Rham.
Sono utili le basi della meccanica razionale/analitica: formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano.
Nota: in linea di principio il corso può essere seguito in parallelo al corso di istituzioni di geometria, ma alcuni elementi di base saranno formalmente introdotti in "istituzioni" dopo essere stati usati in questo corso.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale, volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata che potrà essere verificata sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi riguardanti gli argomenti del corso e risolubili utilizzando gli strumenti introdotti durante le lezioni.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
John M. Lee - Introduction to smooth manifolds
Ana Cannas da Silva - Handbook of symplectic geometry (see also Ana Cannas da Silva - Symplectic geometry - Chapter 3 of Handbook of diff. Geo.)
Marius Crainic, Rui Loja Fernandes and Ioan Marcut - Lectures on Poisson Geometry
Alan Weinstein - Lectures on symplectic manifolds
Jean-Louis Koszul and Yi Ming Zou - Introduction to symplectic geometry
Qualsiasi altro testo di geometria differenziale, per esempio L. Tu "Differential geometry", Springer
o le note del corso di R. L. Fernandez "Differential Geometry", liberamente disponibile online
Ana Cannas da Silva - Handbook of symplectic geometry (see also Ana Cannas da Silva - Symplectic geometry - Chapter 3 of Handbook of diff. Geo.)
Marius Crainic, Rui Loja Fernandes and Ioan Marcut - Lectures on Poisson Geometry
Alan Weinstein - Lectures on symplectic manifolds
Jean-Louis Koszul and Yi Ming Zou - Introduction to symplectic geometry
Qualsiasi altro testo di geometria differenziale, per esempio L. Tu "Differential geometry", Springer
o le note del corso di R. L. Fernandez "Differential Geometry", liberamente disponibile online
Contenuti
Algebra lineare simplettica e presimplettica. Gruppo simplettico lineare. Sottospazi distinti (isotropo, coisotropo, Lagrangiano) di uno spazio simplettico. Riduzione coisotropa e presimplettica lineare.
Riassunto di geometria differenziale essenziale: fibrati vettoriali e loro sezioni. Campi tensoriali, pullback e pushforward, distribuzioni di vettori, teorema di Frobenius.
Complementi di geometria differenziale: derivata di Lie, calcolo di Cartan, isotopie e campi vettoriali dipendenti dal tempo, foliazioni, relazioni di equivalenza, quozienti e criterio di Godement.
Geometria simplettica: varietà differenziabili (pre)simplettiche e sottovarietà distinte, simplettomorfismi. Fibrati vettoriali simplettici. Geometria simplettica dei fibrati cotangenti.
Forme normali.
Elementi di base della teoria di Lie: gruppo e algebra di Lie. Azioni di gruppi e algebre di Lie su varietà differenziabili. Azioni simplettiche e hamiltoniane.
Orbite coaggiunte.
Teorema di riduzione simplettica di Marsden-Weistein.
Riassunto di geometria differenziale essenziale: fibrati vettoriali e loro sezioni. Campi tensoriali, pullback e pushforward, distribuzioni di vettori, teorema di Frobenius.
Complementi di geometria differenziale: derivata di Lie, calcolo di Cartan, isotopie e campi vettoriali dipendenti dal tempo, foliazioni, relazioni di equivalenza, quozienti e criterio di Godement.
Geometria simplettica: varietà differenziabili (pre)simplettiche e sottovarietà distinte, simplettomorfismi. Fibrati vettoriali simplettici. Geometria simplettica dei fibrati cotangenti.
Forme normali.
Elementi di base della teoria di Lie: gruppo e algebra di Lie. Azioni di gruppi e algebre di Lie su varietà differenziabili. Azioni simplettiche e hamiltoniane.
Orbite coaggiunte.
Teorema di riduzione simplettica di Marsden-Weistein.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare insieme al docente, o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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