ID:
503349
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (27/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso intende fornire un'introduzione al Calcolo delle Variazioni. In particolare gli studenti, dopo aver seguito il corso e superato l'esame, avranno una conoscenza di tematiche classiche del calcolo delle variazioni e di alcuni sviluppi più moderni della teoria.
Prerequisiti
I corsi di Analisi della laurea triennale e il corso di Analisi Funzionale.
Conoscenze di base di analisi funzionale e di teoria della misura.
In ogni caso, le principali definizioni e i risultati utilizzati saranno comunque richiamati durante il corso.
Conoscenze di base di analisi funzionale e di teoria della misura.
In ogni caso, le principali definizioni e i risultati utilizzati saranno comunque richiamati durante il corso.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Verifica Apprendimento
Esame orale sugli argomenti del corso. Tale prova è volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata che potrà essere verificata sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi riguardanti gli argomenti del corso e risolubili utilizzando gli strumenti introdotti durante le lezioni.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
B. Dacorogna, "Introduction to the Calculus of Variations", Imperial College Press 1992.
B. Dacorogna, "Direct Methods in the Calculus of Variations", Springer 2007.
G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, “One-dimensional Variational Problems, an Introduction”,
Oxford University Press, 1998.
E. Giusti, “Direct Methods in the Calculus of Variations”, World Scientific 2003.
D. Bucur, G. Buttazzo, "Variational Methods in Shape Optimization Problems", Birkhauser 2005.
G. Allaire, Shape optimization by the homogenization method, Springer-Verlag, 2002.
H. Attouch, Variational Convergence for Functions and Operators, Pitman, 1984.
A. Braides, "Gamma-convergence for Beginners", Oxford University Press 2002.
B. Dacorogna, "Direct Methods in the Calculus of Variations", Springer 2007.
G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, “One-dimensional Variational Problems, an Introduction”,
Oxford University Press, 1998.
E. Giusti, “Direct Methods in the Calculus of Variations”, World Scientific 2003.
D. Bucur, G. Buttazzo, "Variational Methods in Shape Optimization Problems", Birkhauser 2005.
G. Allaire, Shape optimization by the homogenization method, Springer-Verlag, 2002.
H. Attouch, Variational Convergence for Functions and Operators, Pitman, 1984.
A. Braides, "Gamma-convergence for Beginners", Oxford University Press 2002.
Contenuti
Prima parte:
Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni, risultati di esistenza, condizioni necessarie, condizioni sufficienti, regolarità per funzionali integrali.
Quadro funzionale classico e debole.
Semicontinuità e convessità.
Rilassamento. Fenomeno di Lavrentiev.
Esempi notevoli (problema di Newton, energia di Dirichlet, brachistocrona, funzionale dell'area...)
Seconda parte:
Omogenizzazione. H-convergenza e sue proprietà. Compattezza dell'H convergenza. Div-Curl Lemma. G-convergenza e sue proprietà.
Gamma-convergenza e sue proprietà. Teorema fondamentale della Gamma-convergenza. Perturbazione con funzioni continue.
Omogenizzazione di coefficienti simmetrici periodici. Equivalenza tra Gamma-convergenza e G-convergenza. Altri esempi: la "cloud of ice" e il setaccio di Neumann.
Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni, risultati di esistenza, condizioni necessarie, condizioni sufficienti, regolarità per funzionali integrali.
Quadro funzionale classico e debole.
Semicontinuità e convessità.
Rilassamento. Fenomeno di Lavrentiev.
Esempi notevoli (problema di Newton, energia di Dirichlet, brachistocrona, funzionale dell'area...)
Seconda parte:
Omogenizzazione. H-convergenza e sue proprietà. Compattezza dell'H convergenza. Div-Curl Lemma. G-convergenza e sue proprietà.
Gamma-convergenza e sue proprietà. Teorema fondamentale della Gamma-convergenza. Perturbazione con funzioni continue.
Omogenizzazione di coefficienti simmetrici periodici. Equivalenza tra Gamma-convergenza e G-convergenza. Altri esempi: la "cloud of ice" e il setaccio di Neumann.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare insieme al docente, o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
No Results Found
Persone
Persone (2)
No Results Found