ID:
508055
Durata (ore):
76
CFU:
9
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (26/09/2024 - 15/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Scopo del corso è che lo studente sappia usare con cognizioni di causa le principali tecniche dell'algebra commutativa.
In particolare che sappia riprodurre con consapevolezza le varie fasi dimostrative dei risultati teorici più importanti; che sappia svolgere gli esercizi sulle estensioni e contrazioni di ideali, decomposizione primaria di ideali. Si vuole inoltre che abbia compreso a fondo la natura degli anelli noetheriani e artiniani e che sappia usare la localizzazione. Ci si aspetta anche che abbia compreso il significato geometrico di questi concetti, nel passaggio basilare dagli anelli agli spettri di anelli.
In particolare che sappia riprodurre con consapevolezza le varie fasi dimostrative dei risultati teorici più importanti; che sappia svolgere gli esercizi sulle estensioni e contrazioni di ideali, decomposizione primaria di ideali. Si vuole inoltre che abbia compreso a fondo la natura degli anelli noetheriani e artiniani e che sappia usare la localizzazione. Ci si aspetta anche che abbia compreso il significato geometrico di questi concetti, nel passaggio basilare dagli anelli agli spettri di anelli.
Prerequisiti
Contenuti dei corsi di Geometria 1, Algebra 1 e Algebra 2
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni. Svolgeremo circa un paio d'ore di esercizi in classe a settimana. Gli studenti che presenteranno gli esercizi svolti (anche lavorando in gruppi) saranno esonerati dalla parte scritta dell'esame.
Verifica Apprendimento
L'esame sarà sia scritto che orale.
Nello scritto vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nel calcolo e nella risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Gli esercizi si articoleranno in domande di difficoltà variabile volte a stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze. Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, della chiarezza con cui esse vengono presentate e sulla capacità dello studente di applicarle.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Il voto si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Nello scritto vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nel calcolo e nella risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Gli esercizi si articoleranno in domande di difficoltà variabile volte a stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze. Nella parte orale ci si concentrerà soprattutto sulla verifica del grado di conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, della chiarezza con cui esse vengono presentate e sulla capacità dello studente di applicarle.
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Il voto si otterrà dal confronto, non necessariamente ridotto ad una media aritmetica, della valutazione della parte scritta e della parte orale.
Testi
Riferimento principale:
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: "Introduzione all'algebra commutativa", Feltrinelli, (1981)
Altre referenze utili:
- S. Bosch, “Algebraic Geometry and Commutative Algebra”, Springer, (2013)
- D. Eisenbud, “Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry,” SpringerVerlag, (1999)
-A Ferretti, “Commutative algebra”, Open Math Notes of the AMS (2020)
- S. Lang, “Algebra”, Addison-Wisley Publishing Company (1965)
- H. Matsumura: "Commutative Ring Theory", Cambridge University Press, (1989)
- M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra,” Cambridge University Press, (1995)
- M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: "Introduzione all'algebra commutativa", Feltrinelli, (1981)
Altre referenze utili:
- S. Bosch, “Algebraic Geometry and Commutative Algebra”, Springer, (2013)
- D. Eisenbud, “Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry,” SpringerVerlag, (1999)
-A Ferretti, “Commutative algebra”, Open Math Notes of the AMS (2020)
- S. Lang, “Algebra”, Addison-Wisley Publishing Company (1965)
- H. Matsumura: "Commutative Ring Theory", Cambridge University Press, (1989)
- M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra,” Cambridge University Press, (1995)
Contenuti
Il programma del corso copre gli aspetti fondamentali dell’algebra commutativa e della topologia di Zariski associata a un anello commutativo. Nell’ultima parte del corso verranno affrontati argomenti complementari selezionati in base agli interessi degli studenti che frequentano il corso.
Più in dettaglio, questi sono gli argomenti principali trattati nel corso:
- Richiami su anelli e moduli
- Cenni su successioni di moduli
- Prodotto tensoriale di moduli
- Localizzazione di anelli e di moduli
- Decomposizione primaria di ideali
- Anelli e moduli Artiniani e Noetheriani
- Teoria della dimensione
- Chiusure intere e normalizzazione
- Lemma di normalizzazione di Noether
- Teorema degli zeri di Hilbert
- Spettro di un anello commutativo
- Topologia di Zariski
- Insiemi algebrici affini
Più in dettaglio, questi sono gli argomenti principali trattati nel corso:
- Richiami su anelli e moduli
- Cenni su successioni di moduli
- Prodotto tensoriale di moduli
- Localizzazione di anelli e di moduli
- Decomposizione primaria di ideali
- Anelli e moduli Artiniani e Noetheriani
- Teoria della dimensione
- Chiusure intere e normalizzazione
- Lemma di normalizzazione di Noether
- Teorema degli zeri di Hilbert
- Spettro di un anello commutativo
- Topologia di Zariski
- Insiemi algebrici affini
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il ricevimento studenti sarà su appuntamento mandando una mail ai docenti.
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
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MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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