ID:
500679
Durata (ore):
76
CFU:
9
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (27/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi ai metodi agli elementi finiti. Aver compreso i concetti elementari riguardo l'analisi teorica di stabilita' e d'errore, le approssimazioni mediante elementi finiti di problemi in formulazione variazionale mista, gli aspetti implementativi del metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB.
Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
Saper inquadrare e risolvere numericamente alcuni problemi e tipologie standard di equazioni differenziali di tipo ellittico.
Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria.
Saper inquadrare e risolvere numericamente alcuni problemi e tipologie standard di equazioni differenziali di tipo ellittico.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di base di Analisi Matematica e di Analisi Numerica.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni, anche in laboratorio.
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale. Tale prova è volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata a lezione, e gli aspetti implementativi, che potrnno essere verificati sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi relativi all'implementazione al computer del metodo agli elementi finiti.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
Appunti del docente.
A. Quarteroni, A. Valli: "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Springer-Verlag, 1994.
Daniele Boffi, Franco Brezzi, and Michel Fortin. Mixed finite element methods and applications. Berlin: Springer, 2013.
A. Quarteroni, A. Valli: "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Springer-Verlag, 1994.
Daniele Boffi, Franco Brezzi, and Michel Fortin. Mixed finite element methods and applications. Berlin: Springer, 2013.
Contenuti
Il corso si propone di presentare uno studio teorico del metodo degli elementi finiti, di fornire esempi di sue applicazioni all'approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali legate a problemi di interesse applicativo ed infine di evidenziare i dettagli necessari all'implementazione. Dopo alcuni richiami di analisi funzionale, si introdurra' il metodo degli elementi finiti per un problema di pura diffusione (ellittico), presentandone sia l'analisi teorica di stabilita' e d'errore. Si procedera' quindi con lo studio di approssimazioni mediante elementi finiti di problemi in formulazione variazionale mista. Parallelamente, si approfondiranno gli aspetti implementativi del metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB.
Programma esteso
Le lezioni teoriche riguarderanno i seguenti argomenti:
- richiami di Analisi Funzionale, con particolare riferimento agli spazi W^{k,p}, e alla formulazione variazionale primale di problemi ellittici
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert.
- interpolazione di Lagrange in n-simplessi ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stima dell'errore: Lemma di Cea e tecniche di dualità
- studio del metodo degli Elementi Finiti per problemi ellittici, con particolare riferimento al caso bidimensionale
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin: esistenza, unicità , stabilita` della soluzione e stima dell'errore. Alcuni Elementi Finiti per il problema della diffusione del calore in forma mista
- il problema dell'elasticita` e la sua discretizzazione mediante Elementi Finiti: il fenomeno del locking volumetrico e sue possibili cure
Il laboratorio informatico avra` l'obiettivo di implementare il metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB. In particolare si tratteranno i seguenti aspetti:
- struttura dati ed algoritmi per la triangolazione di una regione piana
- interpolazione e integrazione numerica di funzioni sulla triangolazione
- matrici locali e assemblaggio
- condizioni al bordo di tipo Dirichlet and Neumann
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in forma primale, con elementi P1
- implementazione dell'elemento RT
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in mista (problema di Darcy)
NB: Il programma effettivamente svolto potra` subire variazioni anche significative, anche a seconda degli interessi specifici dimostrati dagli Studenti per gli argomenti proposti.
Programma esteso
Le lezioni teoriche riguarderanno i seguenti argomenti:
- richiami di Analisi Funzionale, con particolare riferimento agli spazi W^{k,p}, e alla formulazione variazionale primale di problemi ellittici
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert.
- interpolazione di Lagrange in n-simplessi ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stima dell'errore: Lemma di Cea e tecniche di dualità
- studio del metodo degli Elementi Finiti per problemi ellittici, con particolare riferimento al caso bidimensionale
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin: esistenza, unicità , stabilita` della soluzione e stima dell'errore. Alcuni Elementi Finiti per il problema della diffusione del calore in forma mista
- il problema dell'elasticita` e la sua discretizzazione mediante Elementi Finiti: il fenomeno del locking volumetrico e sue possibili cure
Il laboratorio informatico avra` l'obiettivo di implementare il metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB. In particolare si tratteranno i seguenti aspetti:
- struttura dati ed algoritmi per la triangolazione di una regione piana
- interpolazione e integrazione numerica di funzioni sulla triangolazione
- matrici locali e assemblaggio
- condizioni al bordo di tipo Dirichlet and Neumann
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in forma primale, con elementi P1
- implementazione dell'elemento RT
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in mista (problema di Darcy)
NB: Il programma effettivamente svolto potra` subire variazioni anche significative, anche a seconda degli interessi specifici dimostrati dagli Studenti per gli argomenti proposti.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Informazioni aggiuntive su: https://mate.unipv.it/sangalli/elementi_finiti_mat.html
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
No Results Found
Persone
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