Avere consapevolezza del contenuto e significato dei risultati teorici di base relativi alle somme di v.a. e alle catene i Markov discrete e relative proprietà asintotiche. Aver compreso i concetti di matrice di transizione, di legge di una traiettoria, classificazione degli stati e misure invarianti. Sapere riprodurre con consapevolezza le principali fasi dimostrative della costruzione della teoria. Saper inquadrare e risolvere alcuni problemi di modellizzazione probabilistica.
Prerequisiti
conoscenza degli argomenti trattati nel corso di Elementi di Probabilità
Metodi didattici
Lezioni teoriche (32 ore) alternate ad esercitazioni (24 ore) in cui verranno trattati esempi e svolti alcuni esercizi sugli argmomenti svolti a lezione.
Verifica Apprendimento
L'esame e' costituito da due prove. Nella prova scritta vengono valutate le competenze che lo studente ha raggiunto nel calcolo e nella risoluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso. Se il voto della prova scritta supera la soglia definita, lo studente viene ammesso alla prova orale. Nella parte orale verranno verificate la conoscenza delle nozioni presentate durante il corso, la capacità dello studente di applicarle e la chiarezza espositiva. La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
1. G. Grimmett and D. Stirzaker (2020) Probability and Random Processes. Oxford University Press 2. R. Durrett (2016) Essentials of Stochastic Processes. Springer
Contenuti
Somme di variabili aleatorie. Richiami sulla distribuzione Binomiale e processo di Bernoulli. Tempi di successo. Passeggiate sugli interi. Definizione di processo stocastico. Indipendenza di incrementi. Leggi delle traiettorie
Catene di Markov. Proprietà di Markov e matrice di transizione. Esempi di catene. Legge della traiettoria. Cenni sul problema di esistenza. Classificazione degli stati. Ricorrenza e tempi di primo ritorno. Transienza, ricorrenza positiva e nulla. Periodicità. Misure invarianti, esistenza e unicità, reversibilità in tempo. Proprietà asintotiche. Richiami sulle convergenze e teoremi limite classici. Teorema ergodico per catene di Markov. Convergenza all’equilibrio. Metodo di Montecarlo
Processi di conteggio e processo di Poisson: costruzione e definizioni equivalenti. Proprietà di Markov e semigruppo di transizione.
