ID:
512091
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
Fisica matematica
Anno:
2026
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (23/09/2026 - 13/01/2027)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si prepone l’obiettivo di portare lo studente ad una solida conoscenza della Geometria Simplettica e di Poisson di base, nonché di certi aspetti della teoria di Lie, e di conoscerne la rilevanza per le applicazioni in Fisica Matematica. Questo è un primo passo per lo sviluppo della prospettiva geometrica in fisica matematica (Meccanica Geometrica e Teoria dei Campi), e la base di argomenti di Geometria differenziale moderna e delle relative `strutture superiori’.
Prerequisiti
Un corso base di geometria differenziale, ad es. Istituzioni di Geometria per chi segue un curriculum di matematica. Chi segue un curriculum di fisica può considerare sufficiente l’introduzione alla materia contenuta in un corso di Relatività Generale.
Nota: in linea di principio il corso può essere seguito in parallelo al corso di istituzioni di geometria, ma con più difficoltà.
Sono utili, ma non necessarie, le basi della meccanica razionale/analitica: formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano.
Nota: in linea di principio il corso può essere seguito in parallelo al corso di istituzioni di geometria, ma con più difficoltà.
Sono utili, ma non necessarie, le basi della meccanica razionale/analitica: formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Verifica Apprendimento
L'esame consta di una prova orale, volta a verificare il grado di comprensione degli argomenti teorici svolti a lezione, della chiarezza espositiva ma anche delle capacità di applicare queste nozioni in situazioni concrete. Per tale motivo allo studente sarà richiesta una comprensione sostanziale di tutta la teoria presentata che potrà essere verificata sia attraverso domande su specifici argomenti, sia attraverso la proposta di problemi riguardanti gli argomenti del corso e risolubili utilizzando gli strumenti introdotti durante le lezioni.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Le domande saranno articolate su difficoltà variabile in modo da stabilire il grado di profondità nell'acquisizione di tali competenze
La formulazione del voto si otterrà considerando la complessiva ampiezza e profondità dell’apprendimento, nonché la chiarezza dell’esposizione e le competenze dimostrate nella risoluzione di problemi.
Testi
John M. Lee - Introduction to smooth manifolds
Ana Cannas da Silva - Handbook of symplectic geometry (see also Ana Cannas da Silva - Symplectic geometry - Chapter 3 of Handbook of diff. Geo.)
Marius Crainic, Rui Loja Fernandes and Ioan Marcut - Lectures on Poisson Geometry
Alan Weinstein - Lectures on symplectic manifolds
Jean-Louis Koszul and Yi Ming Zou - Introduction to symplectic geometry
J. Marsden, T. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry, Springer 1994
Mark Adler, Pierre van Moerbeke, Pol Vanhaecke (auth.) - Algebraic Integrability, Painlevé Geometry and Lie Algebras (2004, Springer)
Juan -Pablo Ortega, Tudor S. Ratiu - Momentum Maps and Hamiltonian Reduction, Progress in Mathematics
Qualsiasi altro testo di geometria differenziale, per esempio L. Tu "Differential geometry", Springer
Ana Cannas da Silva - Handbook of symplectic geometry (see also Ana Cannas da Silva - Symplectic geometry - Chapter 3 of Handbook of diff. Geo.)
Marius Crainic, Rui Loja Fernandes and Ioan Marcut - Lectures on Poisson Geometry
Alan Weinstein - Lectures on symplectic manifolds
Jean-Louis Koszul and Yi Ming Zou - Introduction to symplectic geometry
J. Marsden, T. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry, Springer 1994
Mark Adler, Pierre van Moerbeke, Pol Vanhaecke (auth.) - Algebraic Integrability, Painlevé Geometry and Lie Algebras (2004, Springer)
Juan -Pablo Ortega, Tudor S. Ratiu - Momentum Maps and Hamiltonian Reduction, Progress in Mathematics
Qualsiasi altro testo di geometria differenziale, per esempio L. Tu "Differential geometry", Springer
Contenuti
Algebra lineare simplettica e presimplettica. Riduzione coisotropa e presimplettica lineare. Geometria simplettica: varietà differenziabili (pre)simplettiche e sottovarietà distinte, simplettomorfismi. Fibrati vettoriali simplettici. Geometria simplettica dei fibrati cotangenti. Basi della teoria delle foliazioni singolari, relazioni di equivalenza, quozienti e criterio di Godement. Basi della teoria di Lie e azioni su varietà differenziabili. Azioni Hamiltoniane, mappe momento, costanti del moto e proprietà di simmetria (teorema di Noether hamiltoniano). Riduzione simplettica/hamiltoniana e teorema di Marsden Weinstein. Geometria di Poisson, parentesi di Schouten, teorema di splitting di Weinstein e forme normali, sistemi integrabili (generali e secondo Liouville) in varietà di Poisson, Teorema di Arnold Liouville su varietà di Poisson.
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Gli studenti nelle categorie individuate dal progetto sulla didattica innovativa avranno la possibilità di fare ricevimenti anche in modalità telematica e su appuntamento in orari da concordare insieme al docente, o visionare gli appunti delle lezioni del docente.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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